Tìm hiểu phương trình schrodinger cho hệ một electron và áp dụng vào giảng dạy hoá học phổ thông

Tr-ờng ĐH S- phạm Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Trng hp th nng ca h khụng ph thuc vo thi gian: U=U(q) (h kớn, hoc h chuyn ng trong mt trng ngoi khụng i), thỡ toỏn t Haminton H khụng ph thuc vo thi gian v trựng vi toỏn t nng lng ton phn H ( q ) , cũn trng thỏi ca h l trng thỏi dng: (q, t ) (q) . Khi ú nghim ca phng trỡnh Schrodinger cú th tỏch thnh hai tha s: mt tha s ch ph thuc vo ta (q ) v mt tha s ch ph thuc vo thi gian: f (t ) (q, t ) (q). f (t ) (1.2) Thay (1.2) vo (1.1) ta cú: ih (q). f (t ) H (q). f (t ) t ih (q). ih df (t ) f (t ). H (q) dt 1 df (t ) 1 . . H (q) f (t ) dt (q ) (1.3) Vỡ hai v ca (1.3) ph thuc vo hai bin s q v t khỏc nhau nờn chỳng ch cú th cú nghim ỳng khi c hai v bng mt hng s E. Khi ú ta cú: ih H (q) E (q) (1.4) 1 df (t ) . E f (t ) dt (1.5) Phng trỡnh (1.4) trựng vi phng trỡnh tr riờng ca toỏn t nng lng à (E l nng lng ton phn ca h lng t khi H à khụng cha bin s t) H D-ơng Thị Hạnh 11 K34B SP Hóa học Tr-ờng ĐH S- phạm Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Gii (1.5) df (t ) 1 .Edt f (t ) ih df (t ) i .Edt f (t ) h i ln f (t ) .E.t ln C h i f (t ) c.e h . Et c: l hng s Vy nghim tng quỏt ca (1.2) l: (q, t ) (q ).e iEt h Nhng trng thỏi (1.2) trong ú nng lng ca h cú giỏ tr xỏc nh gi l nhng trng thỏi dng v phng trỡnh (1.4) l phng trỡnh Srodinger cho trng thỏi dng. 1.1.2.3. Phng trỡnh Schrodinger trng thỏi dng Khi mt h lng t trng thỏi dng l trng thỏi m toỏn t Haminton H ca h khụng ph thuc tng minh vo thi gian gia hm súng mụ t trng thỏi ca h vi nng lng ton phn E v toỏn t Haminton ca h cú liờn h: H (q) E (q) (1.6) õy l mt phng trỡnh hm riờng, tr riờng, trong ú (q ) l hm riờng ca H , E l tr riờng ca H tng ng vi hm riờng ( q ) . Ta cú toỏn t Haminton cú dng: D-ơng Thị Hạnh 12 K34B SP Hóa học Tr-ờng ĐH S- phạm Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp H = T U Trong ú, T l toỏn t ng nng. Trong h to ecac : T Vi 2 ( h 2 2 2 2 h2 2 ( 2 2 2) 2m x y z 2m 2 2 2 ) : l toỏn t Laplace, c l nabla bỡnh phng. x 2 y 2 z 2 U l toỏn t th nng tng ng l U (x,y,z). H h 2 2 2 2 ( 2 2 2 ) U ( x, y, z ) 2m x y z (1.7) Thay (1.7) vo (1.6) ta cú: h 2 2 2 2 U ( x, y, z ) ( x, y, z ) E ( x, y, z ) 2 2 2 2m x y z 2 2 2 2 h 2 2 2 ( x, y, z ) E U ( x, y, z ) ( x, y, z) 0 2m x y z Nhõn c 2 v ca phng trỡnh vi 2m ta c: h2 2 2 2 2m 2 2 2 ( x, y, z ) 2 E U ( x, y, z ) ( x, y, z ) 0 h x y z Hay: 2 ( x, y, z ) 2m E U ( x, y, z) ( x, y, z ) 0 h2 2 2m ( E U ) 0 h2 Vy phng trỡnh Schrodinger l mt phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh cp hai (hay l mt phng trỡnh o hm riờng cp hai). D-ơng Thị Hạnh 13 K34B SP Hóa học Tr-ờng ĐH S- phạm Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp i vi bt c mt h lng t no, ion, nguyờn t, phõn t li gii phng trỡnh Schrodinger cho h phi bao gm ng thi 2 kt qu: hm riờng v tr riờng nng lng ton phn E ng vi hm riờng ú ca H . V nguyờn tc, phng trỡnh Schrodinge mt phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh cp 2 ch gii c chớnh xỏc i vi mt s ớt h lng t, cỏc trng hp h lng t cú nhiu e ch gii c gn ỳng. 1.1.3. Mt s h thc quan trng trong h ta cu a, Gii thiu h to cu: : Gúc to bi trc Oz vi r vect r l gúc kinh tuyn. z : Gúc to bi hỡnh chiu ca M r vect r trong mt phng xOy vi trc Ox l gúc v tuyn. y x : 0 Trong ú: : 0 2 r r r 0 M z r Liờn h gia to ecac v to cu cos z r.cos cos x x OM .cos r.sin .cos OM sin y y OM .sin r.sin .sin OM b, Biu thc ca mt s toỏn t trong h to cu: + Toỏn t Laplace: 2 D-ơng Thị Hạnh 1 2 1 r r 2 r r r 2 14 K34B SP Hóa học Tr-ờng ĐH S- phạm Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp : l phn ph thuc gúc ca toỏn t Laplace 1 1 2 (sin ) 2 sin sin 2 + Toỏn t momen ng lng. M ih + Toỏn t bỡnh phng momen ng lng: M 2 h 2 + Mt s h thc giao hoỏn quan trng: H ; M z 0 ; 2 M ; M z 0; 2 H ; M 0 M Mx i M y;M Mx i M y M ; M 2 h M z M ; M h M z M ; M h M z M 2 M M M z2 h.M z * Tr riờng ca toỏn t momen ng lng: - Xột phng trỡnh tr riờng ca toỏn t M z . M z u M z .u u u (r , , ) l hm riờng. D-ơng Thị Hạnh 15 K34B SP Hóa học Tr-ờng ĐH S- phạm Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp u M z .u u i .M z . u h i ln u .M z . ln C h ih. u c.e i . M z h i Trong ú: u (r , , ) c(r , ).e h . M z . Khi chuyn ng 2 thỡ ta tr v im ban u. cho u l mt hm n tr khi thay i 2 , hm u phi gi nguyờn giỏ tr. u ( 2 ) u ( ) e e e i . M z ( 2 ) h i . M z h .e i . M z .2 h e i . M z .2 h i . M z h e i . M z h 1 p dng h thc Euler: ei cos i sin vi i eh . M z .2 cos Mz .2 h Mz M .2 i sin z .2 1 h h Mz sin h .2 0 M z .2 m.2 M z m.h h cos M z .2 1 h (m 0, 1,...) Nh vy Mz bng mt s nguyờn ln h . i Thay vo biu thc hm riờng: u (r , , ) c(r , ).e h . M z . c(r , ).eim * Tr riờng ca toỏn t M 2 : D-ơng Thị Hạnh 16 K34B SP Hóa học