Biến đổi fourier, hàm suy rộng và toán tử giả vi phân

Khoá luận tốt nghiệp Ví dụ 1.17. Kí hiệu  x   xi    , y   yi    n n là không gian vector thực n chiều. Với n n ta đặt  x,y   xi yi . (1.4) i 1 Hệ thức (1.4) thoả mãn hệ tiên đề tích vô hướng. Chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng (1.4) là x  n  x,x    xi2 , x   xi    n . i 1 Chuẩn này trùng với chuẩn của x trong không gian  chuẩn). Nên không gian vector thực  n n (không gian định cùng với tích vô hướng (1.4) là một không gian Hilbert. Định lý 1.18 (Định lý Riesz). Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng: x  H. f (x)  x,a  , trong đó phần tử a  H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và ta có f  a. (1.5) Chứng minh: (xem giải tích hàm - Nguyễn Phụ Hy). Nhận xét: Nhờ định lý Riez mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên không gian Hilbert H tương ứng một đối một với phần tử a trong H . Hiển nhiên tương ứng đó vừa tuyến tính vừa đẳng cự. Vì vậy ta có thể đồng nhất mỗi phiếm hàm f  H * với phần tử a  H nghĩa là H   H . Nói cách khác không gian Hilbert là không gian tự liên hợp. Mai Thị Thu Trang 10 Khoá luận tốt nghiệp 1.3. Không gian Lp    , 1  p    1. Không gian L1    Định nghĩa 1.19. Cho  là tập mở của  n trang bị độ đo Lebesgue. Ta kí hiệu L1    là không gian các hàm khả tích trên  lấy giá trị trong  , và đặt f L1   f  x  dx .  Định nghĩa 1.20. Ta gọi giá của hàm f xác định trên  và kí hiệu là suppf và supp   x  : f  x   0 . Khi supp f   và suppf là tập compact thì ta nói f có giá compact trên . Định nghĩa 1.21. Một hàm f xác định hầu khắp nơi trên  được gọi là khả tích địa phương trên  nếu f  L1  A với mọi tập đo được A  và kí hiệu là f  L1,loc    . Bổ đề 1.22 (Bổ đề Fatou) Giả sử  fk  là dãy các hàm trong L1    sao cho 1) Với mỗi k ta có fk  x  0 hầu khắp nơi trên  . 2) sup  fk   . Với mỗi x đặt f  x  liminf fk  x . Khi đó f  L1    và ta có: k  f  lim f k Bổ đề 1.23. k . Giả sử f  L1 , l o c   sao cho hầu khắp nơi trên  . Mai Thị Thu Trang 11  fu  0,u C   thì 0 f =0 Khoá luận tốt nghiệp Định lý 1.24. Không gian C0    các hàm khả vi liên tục có giá compact trù mật trong L1    tức là f  L1   và   0,f1  C0    sao cho f  f1 L1  . 2. Không gian Lp    ( 1  p   ) Định nghĩa 1.25. Cho  là tập mở trong  n . Không gian L p    là tập hợp tất cả các hàm f với luỹ thừa bậc p khả tích trên  nghĩa là   Lp      f /  f  x      cùng với chuẩn f    1 p Lp   p    f  x  dx  .   Định lý 1.26 (bất đẳng thức Holder). Giả sử f  L p    ; g Lq    trong đó p  1, q  1, 1 1   1 (khi đó p được gọi là mũ liên hợp với q ) thì p q gf L1    và  f  x  g x  dx   f Lp gL . q Định lý 1.27 (bất đẳng thức Minkovsky). Giả sử f  L p    g  L p    , p>1. Khi đó: f gL  f p Lp  gL p Định lý 1.28 (Tính trù mật) Không gian C0    trù mật trong L p    với 1  p   . Định lý 1.29. Kí hiệu  L    p là không gian liên hợp của L p    ( 1  p   ). Khi đó  Lp     = Lq    trong đó q>1 thoả mãn  Mai Thị Thu Trang 12 1 1  1 p q Khoá luận tốt nghiệp Nghĩa là nếu  : Lp      là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L p    thì tồn tại duy nhất một hàm g  Lq    sao cho   f    gf dx và  g   . Ngược lại với mỗi hàm g  Lq    đều tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục  sao cho   f    gf dx,f  Lp    .  Định lý 1.30. L2    là không gian Hilbert với tích vô hướng  f ,g   f  x  g x dx .  Hệ quả 1.31. L2    là không gian tự liên hợp. Định lý 1.32. Không gian L2    là không gian phản xạ với 1  p   . 3. Không gian L    Định nghĩa 1.33. L    là tập hợp tất cả các hàm f :    đo được và bị chặn hầu khắp nơi trong . Nghĩa là c  0: f  x   c hầu khắp nơi trong  . Kí hiệu: f f      inf c: f  x   c h.k.n /  essup p f  x  . x Định lý1.34. L p    là không gian Banach  1  p    . Hệ quả 1.35. Nếu  1  p    thì một dãy Cauchy trong L p    bao giờ cũng có một dãy con hội tụ từng điểm hầu khắp nơi trên  . Hệ quả 1.36 Lp     L1.loc    , 1  p   trong đó  là miền tuỳ ý trong  n . 4. Tích chập Bổ đề 1.37 Mai Thị Thu Trang 13 Khoá luận tốt nghiệp Nếu hàm f ,g L1    thì h x   f  x  yg y dy là khả tích trên  n  n . n Chứng minh. Theo định lý Fubini ta có:   h x  dx  n f  x  y  g y  dydx     n  n   f x  y g y dy     dx n  n      =  g y   f  x  y  dx dy  f   L1 . f L1 . Định nghĩa 1.38. Giả sử các hàm f ,g khả tích trên  n . Khi đó hàm h x    f  x  yg y dy được gọi là tích chập của hàm  f và g. Ta kí hiệu n tích chập của f và g là f  g. Định lý 1.39 (Bất đẳng thức Young). Nếu f  L1   1  p   thì f  g  Lp   n  và f g  f L1 n  và g Lp   n  với .gL . p Chứng minh +Xét với p = 1. Đặt h x    f  x  y g x dx . Theo bổ đề 1.36 thì h x khả  tích trên  n n và h x  hữu hạn với hầu khắp x   n . Hơn nữa ta có f g L  1   n      n f  x  y  g y  dy dx  n   f x  y g y dy      dx n n      g y    f  x  y  dx  dy  f  n  Vậy định lý đúng với p = 1. Mai Thị Thu Trang 14 L1 gL. 1 Khoá luận tốt nghiệp + Xét với 1  p   đặt hp  x    f  x  y g x p dy thì hp  x  hữu hạn với n  1 1   1 . áp p p hầu khắp x   n . Gọi p là số mũ liên hợp của p nghĩa là dụng bất đẳng thức Holder ta có 1 p  f  x  y g y dx    f  x  y  f  x  y  n       f  x  y   n  1 p 1 p g y dy n 1 p   p .  f  x  y  g y  dx   f  n  1 p L1  h  x p 1 p . Như vậy f  g x  tồn tại với hầu khắp x   n . Theo bổ đề 1.36 ta có:   p f  g L     f  g x  dx  p n  1 p    n  1 p f  x  y  g y  dy dx    p  n 1 p   p       f  x  y  g x  dy  dx   f  n   n      f 1 p L1  f 1 p L1  f     p     f  x  y  g x  dy  dx   n n          f  x  y  dx  n  1 p L1 f 1 p L1 gL  f p 1 p L1 1 1 p L1  p h x dx     p  n  1 p   p   g y  dy  n  1 p gL . p Vậy định lý đúng với 1  p   . + Xét với p   ta có:  f  x  y g y dy   n gL   f  x  y dy  g  n Mai Thị Thu Trang 15 L f L1 .