Sự gần đúng của su(3) trong nghiên cứu hạt cơ bản

         g.g    I  i a a  ... I  i a a  ...  I  i a a  i a a   a2 a a  ... 2 2 2 2 2 2    Vì  a là các vô cùng bé nên ta có thể bỏ qua số hạng chứa  a2 so với  a :  a a  g .g  I  I  i a     ...  I 2   2   a a   i a     0 2   2  a  a  Điều kiện (2.4) : spa  0 được suy ra từ tính chất det g  1. Det g  e sp ln g Ta có:  e sp ln e e e Vì: det g  1  e  sp 2 a 2     sp  ln  I  i a a   2    i a sp i a sp a i a a 2 a 2 1 0  spa  0  Lựa chọn ma trận a : Ta có thể chọn a (a  1,8) là các ma trận vuông 3  3 bất kỳ thỏa mãn 2 điều kiện: a  a spa  0 7 Để đơn giản ta chọn a (a  1,8) là các ma trận Gell-Mann:  0 1 0  0  i 0 1 0 0       1   1 0 0  ;  2   i 0 0  ; 3   0  1 0   0 0 0  0 0 0 0 0 0       0 0 1 0 0  i  0 0 0        4   0 0 0  ; 5   0 0 0  ;  6   0 0 1  1 0 0 i 0 0   0 1 0       0 0 0  1 0 0     1  7   0 0  i  ; 8  0 1 0   3 0 i 0      0 0  2 Các ma trận a phải thỏa mãn điều kiện giao hoán : c   a b   2 , 2   if abc 2   a, b, c  1,8 c 1  a b    ab  ,   d abc 2 2 2 2 (2.5) (2.6) Trong đó : f abc là hằng số cấu trúc nhóm SU(3) hoàn toàn phản đối xứng theo 3 chỉ số a, b, c . d abc là hằng số hoàn toàn đối xứng theo các chỉ số a, b, c . d abc không đổi dấu khi hoán vị các chỉ số này. f abc đổi dấu khi hoán vị 2 trong 3 chỉ số a, b, c . 0 nếu a  b  ab  1 nếu a  b 8  Hằng số cấu trúc nhóm f abc , d abc và cách xác định. Dùng tính chất : sp a b   2 ab ta tính được f abc , d abc . Công thức tổng quát : f abc  i spa , b c  4 1 d abc  spa , b c  4 Cụ thể : Để có (2.7) ta nhân 2 vế của (2.5) với c 2 rồi sp 2 vế ta được : c c   a b   c  2 ; 2  2  if abc 2 . 2             sp  a , b  c   sp if abc c . c  2 2   2 2  2     i  if abc sp c . c   f abc  2 2 2  1    a b   i sp , c   f abc 2 3   2 2   2 i   sp a , b c   f abc 4 Tính toán cuối cùng ta được giá trị cụ thể của hằng số cấu trúc : f123  1 f147  f 246  f 257  f 345  f 516  f 376  f 458  f 678  1 2 3 2 Các hằng số khác thì bằng 0. Tương tự, ta tính d abc . Nhân (2.6) với c 2 9 rồi sp lên ta có : (2.7) (2.8) c c 1 c   a b   c  ; .  d abc . .   ab . 2 2 2 2 2 2 2             1 sp  a ; b . c   sp d abc . c . c   sp  ab . c  2 2 2  2  2 2  2          sp  a ; b . c   d abc sp c . c  2 2  2 2  2    1    ab .sp c 2  2 1 1 sp a , b c   d abc 3 2 2  d abc  1 sp a , b c  4 Tính toán cuối cùng ta được các giá trị cụ thể : 1 3 1  2 3 d118  d 228  d 338  d 888  d 448  d 558  d 668  d 778 d146  d157  d 247  d 256  d 344  d 355  d 366  d 377  1 2 Các hằng số khác thì bằng 0. Ví dụ 1 : Tính f123 Áp dụng công thức : f abc  i spa , b c  4 Ta có f123  i sp1 , 2 3  4 Với  0 1 0  0  i 0 1 0 0       1   1 0 0  ;  2   i 0 0  ; 3   0  1 0   0 0 0  0 0 0 0 0 0       1 , 2   12  2 1 10 1 0  0  i 0   0  i 0  0 1 0       0 0  i 0 0    i 0 0  1 0 0       0 0  0 0 0   0 0 0  0 0 0  0   1  0  i   0  0   2i   0  0  0   i 0 0     i 0   0 i 0    0 0   0 0 0  0 0 0   2i 0   0 0   2i 0 0  1 0 0   2i 0 0       1 ,  2 3   0  2i 0  0  1 0    0 2i 0  0 0 0  0 0 0   0 0 0         sp  ,    2i  2i  0  4i 1 2 3 i  f123   .4i  1 4 Ví dụ 2 : Tính f147 Ta có : f147  i sp1 , 4 7  4  0 1 0 0 0 1 0 0 0        Với 1   1 0 0  ;  4   0 0 0  ; 7   0 0  i   0 0 0 1 0 0 0 i 0        1 , 4   14  4 1 11 0   1  0  1 0  0 0 1   0 0 1  0 1 0       0 0  0 0 0    0 0 0  1 0 0       0 0  1 0 0   1 0 0  0 0 0  0   0  0  0 0  0 0 0    0 1  0 0 0    0 0   0 1 0  0   0  0  0 0 0  1   1 0   0 0 0  0 0 0   0 0 0       1 , 4 7   0 0 1  0 0  i    0 i 0   0  1 0  0 i 0   0 0 i          sp1 ,  4 7   0  i  i  2i i 1  f147   .2i  4 2 Ví dụ 3 : Tính f Ta có : f 376  376 i sp3 , 7 6  4 1 0 0 0 0 0   0 0 0       Với 3   0  1 0  ; 7   0 0  i  ; 6   0 0 1  0 0 0 0 i 0   0 1 0       3 , 7   37  7 3 1   0  0  0 0  0 0   1 0  0  0 0  0 0   0 0 0  1 0 0      0  i    0 0  i  0  1 0      i 0   0 i 0  0 0 0  12