Các bất đẳng thức trong xác suất

1.2 Kì vọng có điều kiện CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT (2) X ≤ Y (h.c.c) suy ra E[X IA ] ≤ E[Y IA ] với mọi A ∈ F hay E[E(X | F)I] ≤ E[E(Y | F)I], ∀A ∈ F. Tức là E(X | F) ≤ E(Y | F) (h.c.c). (3) − |X| ≤ X ≤ |X| suy ra −E(|X| | F) ≤ E(X | F) ≤ E(|X| | F) Từ đó, ta có điều cần chứng minh. (4) A ∈ F thì E[(aX + bY )IA ] = aE[X IA ] + bE[Y IA ] = aE[E(X | F)IA ] + bE[E(Y | F)IA ] = E[(aE(X | F) + bE(X | F))IA ] Từ đó có kết luận. (5) EX đo được đối với σ− đại số {∅, Ω} và nếu A = ∅ hoặc A = Ω thì có XdP = EXdP. A A Đó là điều phải chứng minh. (6) Hiển nhiên. (7) Sử dụng (1.1) với A = Ω. (8) Nếu A ∈ F1 thì E[E(X | F2 ) | F1 ]dP = E(X | F2 )dP = A A XdP. A Từ đó và từ định nghĩa 1.2.1 ta có đẳng thức đầu. Đẳng thức sau suy ra từ (6) và nhận xét E(X | F1 ) là F2 − đo được. (9) Nếu A ∈ F thì X và IA độc lập. Do đó XdP = EX IA = EX · P(A) = A EXdP. A Từ đó ta có kết luận. 8 1.3 Martingale với thời gian rời rạc 1.3 1.3.1 CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT Martingale với thời gian rời rạc Khái niệm về tương thích và dự báo được Giả sử (Ω, A, P) là không gian xác suất, F ∈ A là σ− trường con của A và X là biến ngẫu nhiên nào đó. Ta nói rằng X tương thích với F nếu X là F− đo được. Trong trường hợp đó ta viết X ∈ F Kí hiệu σ(X) = X −1 (B), trong đó B là σ− trường Borel của R. Rõ ràng, X ∈ F khi và chỉ σ(X) ⊂ F Cho trước dãy ngẫu nhiên X = {Xn , n ∈ N}. Kí hiệu σ({Xn , n ∈ N}) là σ− trường con bé nhất của A chứa tất cả các σ− trường σ(Xn ), n ∈ N. Ta gọi σ({Xn , n ∈ N}) là σ− trường sinh ra từ X = {Xn , n ∈ N}. Đặt X σ≤n = σ≤n = σ({Xm , m ≤ n}), m, n ∈ N, X σn = σ({Xm , m > n}), m, n ∈ N. Cho dãy σ− trường con {Fn , n ∈ N} của A. Dãy này được gọi là không giảm, nếu Fm ⊂ Fn , m ≤ n, ∀m, n ∈ N. Chẳng hạn, {σ≤n , n ∈ N} là họ không giảm. Ta lưu ý rằng σ≤n gồm các biến cố quan sát được tính đến thời điểm n. Định nghĩa 1.3.1. Với các kí hiệu như trên, ta nói rằng quá trình ngẫu nhiên X = {Xn , Fn , n ∈ N} là dãy tương thích, nếu Xn ∈ Fn với mỗi n ∈ N. Ta nói rằng V = {Vn , Fn−1 , n ∈ N, F−1 = F0 } là dãy dự báo được nếu Vn ∈ Fn−1 với mỗi n ∈ N. Rõ ràng dãy dự báo được là dãy tương thích. 1.3.2 Thời điểm dừng Định nghĩa 1.3.2. Giả sử τ : Ω → N ∪ {∞} là biến ngẫu nhiên ( có thể lấy giá trị ∞). Ta nói rằng τ là thời điểm Markov đối với {Fn , n ∈ N}, nếu {ω : τ (ω) = n} ∈ Fn , ∀n ∈ N. Nếu thêm vào đó P(τ < ∞) = 1, thì τ được gọi là thời điểm dừng. 9 1.3 Martingale với thời gian rời rạc CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT Chú ý 1.3.3. τ là thời điểm Markov khi và chỉ khi {ω : τ (ω) ≤ n} ∈ Fn , ∀n ∈ N. Ví dụ 1.3.4. Nếu τ (ω) ≡ n(∈ N ∪ ∞), thì hiển nhiên τ là thời điểm Markov. Ví dụ 1.3.5. Giả sử {Xn , n ∈ N} là dãy các biến ngẫu nhiên, và B là tập Borel của R. Đặt   min{n : Xn ∈ B} nếu ω ∈ {Xn ∈ B} τB = n∈N  ∞ nếu Xn ∈ / B ∀n ∈ N. Khi đó, τB là thời điểm Markov đối với {σ≤n , n ∈ N}. Chứng minh suy ra từ n {τB ≤ n} = {Xk ∈ B} ∈ σ≤n , ∀n ∈ N. k=0 Ví dụ 1.3.6. Giả sử {Xn , n ∈ N} là dãy các biến ngẫu nhiên, và Bn , n = 1, 2, . . . là dãy tập Borel của R. Đặt τ1 = τB1 ;   min{n > τB1 : Xn ∈ B2 }, ω ∈ {Xn ∈ B2 } ∩ {τ1 < ∞} τ2 = n∈N  ∞ trong trường hợp còn lại. τn được định nghĩa tương tự. Khi đó, (τn , n ∈ N) là dãy các thời điểm Markov đối với {σ≤n , n ∈ N}. Chứng minh đối với τ2 suy ra n {τ2 ≤ n} = {τ1 ≤ n} ∩ {Xk ∈ B2 }. k=0 Tính chất 1. Giả sử τ là thời điểm Markov đối với {Fn , n ∈ N. Khi đó {τ < n} ∈ Fn . Tính chất 2. Nếu τ1 , τ2 là các thời điểm Markov đối với {Fn , n ∈ N}, thì τ1 ∧ τ2 = min(τ1 , τ2 ), τ1 ∨ τ2 = max(τ1 , τ2 ), và τ1 + τ2 là các thời điểm Markov đối với {Fn , n ∈ N}. Tính chất 3. Nếu τ1 , τ2 , . . . là dãy các thời điểm Markov đối với {Fn , n ∈ N}, thì τn = sup τn , τn = inf τn cũng là thời điểm n n n Markov đối với {Fn , n ∈ N}. 10 n 1.3 Martingale với thời gian rời rạc CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT Tính chất 4. Nếu τ là thời điểm Markov đối với {Fn , n ∈ N}, thì τ ∈ Fτ . Nếu τ và σ là các thời điểm Markov đối với {Fn , n ∈ N} sao cho P(τ ≤ σ) = 1, thì Fτ ⊂ Fσ . Tính chất 5. Nếu τ1 , τ2 , . . . là dãy các thời điểm Markov đối với {Fn , n ∈ N}, và τ = inf τk , thì k Fτk . Fτ = k Tính chất 6. Nếu τ, σ là các thời điểm Markov đối với {Fn , n ∈ N}, thì các biến cố {τ < σ}, {τ = σ}, {τ ≤ σ} thuộc vào Fτ ∩ Fσ . Tính chất 7. Giả sử {Xn , Fn , n ∈ N} là dãy tương thích và τ là thời điểm Markov đối với {Fn , n ∈ N}, thì Xτ : Ω → R, Xτ (ω) = Xτ (ω)(ω) 0 nếu ω ∈ {τ (ω) < ∞} nếu ω ∈ {τ (ω) = ∞}. là đo được đối với Fτ , tức là, Xτ ∈ Fτ . Tính chất 8. Giả sử f : Ω → R là biến ngẫu nhiên F∞ − đo được và τ là thời điểm Markov đối với {Fn , n ∈ N}. Khi đó f là Fτ − đo được nếu và chỉ nếu với mọi n ∈ N, hạn chế của f trên {τ = n} là Fn − đo được, tức là, f I{ τ = n} ∈ Fn . Nếu Z là biến ngẫu nhiên không âm hoặc có kì vọng hữu hạn, thì ta có E(Z | Fτ ) = E(Z | Fn ) trên tập {ω : τ = n}, 1.3.3 ∀n ∈ N. Martingale Định nghĩa 1.3.7. Giả sử (Ω, A, P) là không gian xác suất. Dãy X = {Xn , Fn , n ∈ N} được gọi là martingale trên (đối với {Fn , n ∈ N}), nếu (i) {Xn , Fn , n ∈ N} là dãy tương thích; (ii) E |Xn | < ∞, ∀n ∈ N; (iii) với m ≤ n, m, n ∈ N E(Xn | Fm ) ≤ Xm , P − hầu chắc chắn. 11 1.3 Martingale với thời gian rời rạc CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT Định nghĩa 1.3.8. Giả sử (Ω, A, P) là không gian xác suất. Dãy X = {Xn , Fn , n ∈ N} được gọi là martingale dưới (đối với {Fn , n ∈ N}), nếu (i) {Xn , Fn , n ∈ N} là dãy tương thích; (ii) E |Xn | < ∞, ∀n ∈ N; (iii) với m ≤ n, m, n ∈ N E(Xn | Fm ) ≥ Xm , P − hầu chắc chắn. Định nghĩa 1.3.9. Giả sử (Ω, A, P) là không gian xác suất. Dãy X = {Xn , Fn , n ∈ N} được gọi là martingale (đối với {Fn , n ∈ N}), nếu (i) {Xn , Fn , n ∈ N} là dãy tương thích; (ii) E |Xn | < ∞, ∀n ∈ N; (iii) với m ≤ n, m, n ∈ N E(Xn | Fm ) = Xm , P − hầu chắc chắn. Ví dụ 1.3.10. Giả sử {Xn , n ∈ N} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với EXn = 0, n ∈ N. Khi đó các tổng riêng Sn = X0 + · · · + Xn là dãy martingale đối với Fn = σ(X0 , . . . , Xn ). Thật vậy, do Sn−1 ∈ Fn−1 , tính độc lập của Xn với Fn−1 , ta có E(Sn | Fn−1 ) = E(Sn−1 + Xn | Fn−1 ) = Sn−1 + EXn = Sn−1 . Ví dụ 1.3.11. Giả sử {Xn , n ∈ N} là dãy các biến ngẫu nhiên nào đó có E |X| < ∞ và {Fn , n ∈ N} là dãy σ− trường con không giảm của A. Khi đó, dãy Xn = E(X | Fn ) là dãy martingale đối với Fn , n ∈ N. Thật vậy, vì Fn−1 ⊂ Fn , Xn ta có Xn−1 = E(X | Fn−1 ) = E(E((X | F) | Fn−1 )) = E(Xn | Fn−1 ). Tính chất 1. Nếu X = {Xn , Fn , n ∈ N} là martingale, thì hàm trung bình EXn không phụ thuộc n ∈ N. Tính chất 2. Nếu X = {Xn , Fn , n ∈ N} là martingale dưới, thì hàm trung bình EXn không giảm theo n ∈ N. 12 1.3 Martingale với thời gian rời rạc CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT Tính chất 3. Nếu X = {Xn , Fn , n ∈ N} là martingale, thì hàm E |Xn |p , 1 ≤ p < ∞ không giảm theo n ∈ N. Tính chất 4. Giả sử X = {Xn , Fn , n = 0, 1, . . . , N } là martingale trên, và τ, σ là hai thời điểm Markov (đối với Fn , n = 0, 1, . . . , N ) sao cho P{τ ≤ N } = P{σ ≤ N } = 1. Khi đó Xσ ≥ E(Xτ | Fσ ), ({τ ≥ σ}, P − hầu chắc chắn), tức là P{ω ∈ {τ ≥ σ} : Xσ < E(Xτ | Fσ )} = 0 hoặc tương đương Xτ ∧σ ≥ E(Xτ | Fσ ), (P − hầu chắc chắn) Tính chất 5. • Giả sử X = {Xn , Fn , n = 0, 1, . . . , N } là martingale trên, và τ, σ là hai thời điểm Markov (đối với Fn , n = 0, 1, . . . , N ) sao cho P{σ ≤ τ ≤ N } = 1. Khi đó, ta có EX0 ≥ EXσ ≥ EXτ ≥ EXN . • Giả sử X = {Xn , Fn , n = 0, 1, . . . , N } là martingale dưới, và τ, σ là hai thời điểm Markov (đối với Fn , n = 0, 1, . . . , N ) sao cho P{σ ≤ τ ≤ N } = 1. Khi đó, ta có EX0 ≤ EXσ ≤ EXτ ≤ EXN . • Giả sử X = {Xn , Fn , n = 0, 1, . . . , N } là martingale trên, và τ, σ là hai thời điểm Markov (đối với Fn , n = 0, 1, . . . , N ) sao cho P{τ ≤ N } = 1. Khi đó, ta có E |Xτ | ≤ EX0 + 2EXN− ≤ 3 sup E |Xn | . n≤N Tính chất 6. Giả sử X = {Xn , Fn , n = 0, 1, . . . , N } là martingale trên, và τ, σ là hai thời điểm Markov (đối với Fn , n = 0, 1, . . . , N ) sao cho P{τ ≤ N } = P{σ ≤ N } = 1. Khi đó Xσ = E(Xτ | Fσ ), ({τ ≥ σ}, P − hầu chắc chắn), hoặc tương đương Xτ ∧σ = E(Xτ | Fσ ), (P − hầu chắc chắn) 13