Các bài toán về thể tích khối đa diện trong chương trình trung học phổ thông

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 + Din tớch hỡnh vuụng S ABCD AB A B 2 + ng chộo hỡnh vuụng O AC BD AB 2 OA OB OC OD C D 1 - Din tớch hỡnh thoi: S (h1 +h2) (trong ú h1, h2 ln lt l hai ng chộo 2 ca hỡnh thoi). 1 - Din tớch hỡnh thang: S (m1+m2).h (trong ú m1, m2, h ln lt l ỏy ln 2 v ỏy nh v chiu cao ca hỡnh thang). - Din tớch hỡnh bỡnh hnh S = m.h (trong ú m l ỏy, h l ng cao ca hỡnh bỡnh hnh). 1.2.6. Khong cỏch - Khong cỏch t mt im ti mt ng thng, mt mt phng. Khong cỏch t im M ti mt ng thng a (hoc mt phng (P)) l khong cỏch gia hai im M v H, trong ú H l hỡnh chiu ca im M lờn ng thng a (hoc lờn mt phng (P)). M M a H H - Khong cỏch gia ng thng v mt phng song song. Trịnh Thị Phương 7 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khong cỏch gia ng thng a v mt phng (P) song song vi a l khong cỏch t mt im no ú ca a ti mt phng (P) d (a;( P)) OH a O H P - Khong cỏch gia hai mt phng song song l khong cỏch t mt im bt k trờn mt phng ny n mt phng kia d (( P);(Q)) OH O P H Q - Khong cỏch gia hai ng thng chộo nhau l di on vuụng gúc chung ca 2 ng thng ú (hay chớnh l khong cỏch t mt ng thng ti mt mt phng song song cha ng thng kia). d (a; b) AB A a b B 1.2.7. Gúc Trịnh Thị Phương 8 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 - Cỏch xỏc nh gúc + Gúc gia ng thng d v mt phng (P). Tỡm hỡnh chiu d ca d lờn mt phng (P) Khi ú gúc gia d v (P) l gúc gia d v d. + Gúc gia hai mt phng (P) v (Q). Xỏc nh giao tuyn d ca (P) v (Q). Tỡm trong (P) ng thng a d , trong mt phng (Q) ng thng b d. Khi ú gúc gia (P) v (Q) l gúc gia 2 ng thng a v b. 1.3. Bi tp th tớch trong sỏch giỏo khoa toỏn trung hc ph thụng Trong sỏch giỏo khoa toỏn lp 12 bi tp v th tớch khi a din gm 51 bi bao gm cú cỏc dng nh sau: a) Tớnh th tớch da vo cụng thc (21 bi) b) Bi tp v t s th tớch (23 bi) c) Chng minh t s th tớch ca 2 khi a din bng mt h s cho trc (7 bi). Ngoi ra trong mt s sỏch tham kho ta cũn gp cỏc dng v th tớch nh: S dng phng phỏp th tớch tớnh khong cỏch, cỏc bi toỏn th tớch cú kt hp vi vic tỡm giỏ tr ln nht, nh nhtC th nh th no chỳng ta s c tỡm hiu rừ hn trong chng 2 ca khúa lun. 1.4. Mt s chỳ ý khi gii bi tp th tớch - Núi ti th tớch khi a din chỳng ta luụn luụn quan tõm ti hai yu t ú l ng cao v din tớch ỏy. * ng cao: ó cú sn t gi thit bi toỏn hoc phi xỏc nh Tớnh ng cao da vo vic s dng nh lớ Pytago hoc da vo cỏc cụng thc lng giỏc. * Din tớch ỏy: Tớnh din tớch ỏy da vo cỏc cụng thc quen thuc. - Khi gii bi tp v th tớch Trịnh Thị Phương 9 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 + Trong mt s bi toỏn v khi chúp tam giỏc chỳng ta cn khộo lộo trong vic chn ng cao v mt phng ỏy vic tớnh toỏn ngn gn v d dng hn. + i vi nhng bi toỏn tớnh th tớch ca cỏc khi chúp u ta luụn cú ng cao ca khi a din chớnh l ng thng ni nh vi tõm ca a giỏc ỏy. + Khi chúp cú mt cnh bờn vuụng gúc vi ỏy thỡ ng cao chớnh l cnh bờn ú. + Tớnh th tớch khi a din cú th tớnh mt cỏch trc tip hoc giỏn tip. + Vi mt s bi toỏn yờu cu tớnh khong cỏch t mt im ti mt mt phng hoc khong cỏch gia hai ng thng ta cú th quy v bi toỏn tớnh th tớch khi a din Kt lun chng 1 Nh vy trong chng ny chỳng ta ó i tỡm hiu c s lớ lun v th tớch khi a din, tỡm hiu c cỏc kin thc liờn quan ti vn ny cng nh mt s lu ý khi lm bi tp v th tớch khi a din. T ú cú nhng dng bi tp tng ng. Trờn c s ú vi mc ớch giỳp hc sinh cú c mt ti liu thit thc v ch th tớch khi a din trong chng trỡnh toỏn trung hc ph thụng. Chng 2 ca khúa lun s i xõy dng mt h thng bi tp v th tớch mt cỏch tng i a dng v phong phỳ. Trịnh Thị Phương 10 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 CHNG 2: BI TON TH TCH TRONG CHNG TRèNH TRUNG HC PH THễNG 2.1. Bi toỏn tớnh th tớch trc tip Phng phỏp gii cỏc bi toỏn dng ny thng c tin hnh nh sau: - Xỏc nh chiu cao ca khi a din cn tớnh th tớch. Trong nhiu trng hp chiu cao ny c xỏc nh ngay t u bi, nhng cng cú trng hp vic xỏc nh chiu cao phi da vo cỏc nh lý v quan h vuụng gúc ó hc lp 11 (hay dựng nht l nh lý v 3 ng vuụng gúc, cỏc nh lý v iu kin mt ng thng vuụng gúc vi mt phng). Vic tớnh cỏc chiu cao thụng thng nh vo vic s dng nh lý Pytago hoc da vo cỏc cụng thc lng giỏc. - Tỡm din tớch ỏy bng cỏc cụng thc quen thuc. Nhỡn chung cỏc bi toỏn thuc dng ny rt c bn, ch ũi hi vic tớnh toỏn cn thn, chớnh xỏc. Tuy nhiờn im khú nht nm yu t ng cao. Cú th gp cỏc kh nng sau: Dng toỏn cú sn ng cao. Dng toỏn cn i dng ng cao. Dng toỏn cn dng ng cao ph.. 2.1.1. Dng toỏn cú sn ng cao a. C s lý thuyt Mt s bi toỏn v tớnh th tớch khi a din ó cú sn ng cao. Giỏo viờn cn a ra cỏc vớ d v giỳp hc sinh bit xỏc nh ng cao ú. Sau õy l mt s gi ý nhn bit ng cao. - ng thng qua nh v vuụng gúc vi mt ỏy. Cú th cho vuụng gúc trc tip hoc cho vuụng gúc vi 2 ng thng ct nhau nm trong mt phng ỏy. Trịnh Thị Phương 11 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 - Giao tuyn ca 2 mt phng phõn bit cựng cha nh v vuụng gúc vi ỏy. - ng thng qua nh nm trong mt phng ( ) vuụng gúc vi ỏy, ng thi vuụng gúc vi giao tuyn ca ( ) v ỏy. - Cho hỡnh chiu vuụng gúc ca nh lờn mt ỏy thỡ on ni nh v hỡnh chiu ca nú l ng cao. Lu ý: Trong cỏc trng hp trờn cn ch cho hc sinh thy c trong cỏc trng hp no cn phi chng minh ú l ng cao, trng hp no khụng cn phi chng minh. b. Vớ d minh ha Vớ d 1: Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC cú cnh ỏy bng a 3 , cnh bờn bng 2a . Tớnh th tớch khi a din S.ABC. Gii Gi M l trung im BC, O l trng tõm ca tam giỏc ABC Do S.ABC l hỡnh chúp tam giỏc u nờn hỡnh chiu vuụng gúc ca nh xung ỏy trựng vi tõm ca tam giỏc ỏy SO ( ABC ) . S * Tớnh SO. Do ABC u cnh a 3 , tõm O nờn 3 3a . 2 2 2 2 3a AO AM . a. 3 3 2 AM a 3 . A C O M B Xột tam giỏc vuụng SAO cú SO SA2 AO 2 a 3 . Trịnh Thị Phương 12 Lớp K35E Toán