Bồi dưỡng hoc sinh giỏi toán lớp 4, 5 qua chuyên đề vận dụng tính chất các phép tính

- Công tác bồi dưỡng HS giỏi luôn được chú trọng trong các trường Tiểu học nhằm tạo ra những học sinh giỏi tham gia vào các kì thi HS giỏi, Trạng Nguyên nhỏ tuổi, Thần đồng Đất Việt, Toán tuổi thơ … và rất nhiều HS đã đạt giải cao - 100% GV đều lựa chọn phương pháp bồi dưỡng đó là: kết hợp giữa việc bồi dưỡng theo chuyên đề với các phương pháp thực hành giải toán. Đây là phương pháp rất phổ biến, dễ sử dụng và đem lại kết quả cao - Bên cạnh đó để công tác bồi dưỡng đạt kết quả cao thì GV cần có các biện pháp khắc phục bằng cách giải thích rõ những sai lầm của học sinh để các em nắm được bản chất của kiến thức Đặc biệt, riêng về nội dung tính chất các phép tính và vận dụng tính chất các phép tính trong giải toán, chúng ta thấy: Nội dung này đã được chú ý đưa vào trong hoạt động bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở tiểu học qua chuyên đề “Các bài toán có nội dung số học”. Tuy nhiên, do đây chỉ là một nội dung trong rất nhiều nội dung quan trọng của mạch kiến thức Số học, số lượng bài tập liên quan đến tính chất các phép tính chưa nhiều và phong phú nên một số GV mới chỉ hướng dẫn HS lớp 4, 5 làm một số bài, chưa có sự chú ý và quan tâm đúng mức tới nội dung này. Do vậy, GV tiểu học đặc biệt là các GV phụ trách công tác bồi dưỡng Hs giỏi toán lớp 4, 5 cần có nhận thức đúng đắn và sâu hơn về vai trò, vị trí của các tính chất cơ bản. Từ đó, giúp GV có phương pháp phù hợp dạy học về dạng toán này cho HS, góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả công tác bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở tiểu học 11 CHƯƠNG 2 DẠY HỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 4, 5 QUA CHUYÊN ĐỀ VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CÁC PHÉP TÍNH 2.1. Các tính chất cơ bản của phép tính 2.1.1. Nội dung dạy học hình thành số tự nhiên Ở Tiểu học, nội dung chương trình dạy học hình thành số tự nhiên bao gồm các nội dung sau: - Hình thành biểu tượng, khái niệm ban đầu về số tự nhiên, giới thiệu cách đọc, cách viết, phân tích cấu tạo thập phân của các số tự nhiên có nhiều chữ số… - So sánh và sắp thứ tự các số tự nhiên - Hình thành các phép tính trên tập các số tự nhiên gồm: phép cộng, phép trừ, phép nhân và phép chia - Tính chất các phép tính cộng, trừ, nhân, chia - Dấu hiệu chia hết Các nội dung này được hình thành theo các vòng số và có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, được sắp xếp xen kẽ nhau, bổ sung kiến thức cho nhau nhằm làm nổi bật tầm quan trọng của nội dung hạt nhân “Số học” trong chương trình. Ở đây, tôi xin trình bày chủ yếu về nội dung về tính chất các phép tính. Trong đó, nội dung về dấu hiệu chia hết có thể được coi là một trong các tính chất của phép tính (phép chia). Vì vậy, trong đề tài này, tôi xét cả nội dung dấu hiệu chia hết trong nội dung tính chất các phép tính. 2.1.2. Tính chất cơ bản của các phép tính 2.1.2.1 Cơ sở toán học Khi nói đến các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và các tính chất của nó thì ta phải nói đến kiến thức toán học cơ sở của nó là lý thuyết về nhóm và nửa nhóm. a. Phép toán hai ngôi 12 * Định nghĩa 1: Một phép toán hai ngôi trong tập X ≠  là ánh xạ đi từ X  X  X, ảnh của phần tử (x,y)  X  X qua ax  được gọi là cái hợp thành của x và y, kí hiệu là x  y . Nếu  là phép nhân thì x nhân y được viết bằng x  y hoặc xy Ví dụ : + Phép cộng và phép nhân thông thường trên tập N là phép toán 2 ngôi + Phép mũ (xy) trong N* cũng là một toán hai ngôi + Phép cộng thông thường hai vectơ cùng cùng gốc trong Rn cũng là một phép toán hai ngôi + Phép nhân hai ma trận cùng cấp cũng là phép toán hai ngôi * Định nghĩa 2: Cho tập hợp X cùng phép toán hai ngôi nhân (X,.), 1 tập hợp A nằm trong X ≠  thì tập A được gọi là bộ phận ổn định của tập X dưới phép nhân nếu x, y  A thì xy  A Phép toán  xác định bởi phép toán () hạn chế trên tập A Phép toán  = A : AA  A (x,y)  xy Ở đó, A là bộ phận ổn định của tập X, gọi là phép toán cảm sinh trên A bởi phép toán nhân * Định nghĩa 3: Cho tập X cùng phép toán 2 ngôi  Ta nói phép toán nhân “.”có tính kết hợp nếu  x, y, z  X thì (xy)z = x(yz)  Phép toán “.”có tính giao hoán x, y  X thì xy = yx N*  N*  N* (x,y)  xy ( không kết hợp, không giao hoán) Phép cộng của hai vectơ cùng gốc có tính kết hợp và giao hoán * Định nghĩa 4: 13 Cho (X, .) Ta gọi phần tử e  X là phần tử đơn vị phải hay trái của phép toán nhân nếu x  X thì xe = x( ex = x), xe = ex = x  x  X Nếu e  X vừa là đơn vị phải, trái thì e được gọi là đơn vị của phép toán nhân Chú ý : - Nếu e  X là phần tử đơn vị của phép toán cộng “+” thì ta thường gọi e là phần tử trung lập - Nếu e là đơn vị của phép toán nhân “.”thì ta cũng nói e là đơn vị trung lập của phép toán nhân “.” Nhận xét: - Nếu tập X vừa có đơn vị phải và đơn vị trái thì chúng phải trùng nhau - Có không quá một phần tử đơn vị của X Ví dụ: + Tập số tự nhiên (N,+) có phần tử trung lập là 0 (0 + a = a + 0 = a, a  N) + Tập số tự nhiên (N,.) có phần tử đơn vị là 1 (1.a = a.1 = a, a  N) + Tập số tự nhiên (N*) với phép mũ có đơn vị phải là 1 + Phép toán nhân của ma trận cùng cấp là ma trận đơn vị b. Nửa nhóm Cho tập X cùng với phép toán (X,.) tập X được gọi là nửa nhóm nếu phép toán nhân có tính kết hợp. Hơn nữa nếu X có đơn vị thì X được gọi là một vị nhóm; nếu phép toán nhân giao hoán thì X được gọi là nửa nhóm giao hoán Ví dụ: + N* dưới phép toán “.” thì (N*,.) là một vị nhóm giao hoán + (Z,+) là một vị nhóm giao hoán … c. Nhóm * Định nghĩa 1: Cho vị nhóm (X,.) với đơn vị e, x X. Ta gọi phần tử x  X là nghịch đảo phải (trái) của phần tử x nếu xx’ = e (x’x = e) 14 Nếu x’ đồng thời là nghịch đảo phải và trái thì x’ được gọi là phần tử nghịch đảo của x kí hiệu là x’ = x-1  Nhận xét : Nếu x  X vừa có nghịch đảo phải và nghịch đảo trái thì chúng trùng nhau Vậy x  X có không quá 1 nghịch đảo  Chú ý: Nếu (X,+) là vị nhóm với phần tử trung lập e thì phần tử nghịch đảo thường gọi là đối xứng và x-1 thay bằng - x (trong trường hợp phép cộng) * Định nghĩa 2: Ta gọi nhóm là 1 vị nhóm mà mọi phần tử đều có nghịch đảo tức là X với phép toán “.”là một nhóm. Ta có như sau : x, y, z  X (xy)z = x(yz) x  X, tồn tại x  X: xe = x x  X, tồn tại x-1  X : x.x-1 = x-1.x = e Ví dụ : Tập số nguyên (Z, +) là một nhóm x, y, z  X: (x  y) z = x  (y  z) x  Z, tồn tại 0  X : x  0 = 0  x = x x  Z => -x  Z: x  (-x) = -x  x = 0 * Định nghĩa 3: Cho X là một nhóm, nếu phép nhân trong tập X có tính giao hoán thì X được gọi là nhóm giao hoán aben - Một số tính chất của nhóm Nhóm có 3 tính chất tuy nhiên ở đây tôi xin đề cập tới 1 tính chất cơ bản sau  Trong một nhóm có luật giản ước tức là x,y,z  X mà xy = yz (yx = zx, xz = yz) thì x = z (y = z, x = y)  Hai tính chất còn lại nói về nghiệm của phương trình bậc nhất và phép mũ, ở đây ta không xét 15 2.1.2.2. Tính chất các phép tính Trên cơ sở lí thuyết về nhóm và nửa nhóm ở trên, chúng ta phần nào thấy được một số phép tính và tính chất của các phép tính. Nội dung chương trình môn toán ở tiểu học khi dạy học về số tự nhiên cũng đã hình thành về các phép tính này một cách tường minh giúp HS tiểu học hiểu được và cũng đã chú ý đúng mức tới việc hình thành ở HS những tính chất cơ bản của các phép tính, giúp HS có thể vận dụng trong nhiều trường hợp giải toán khác nhau. Tuy nhiên, để phù hợp với khả năng nhận thức cũng như trình độ tư duy của HS thì ở giai đoạn đầu các tính chất này không được giới thiệu một cách chính thức, tường minh mà ẩn tàng qua các bài tập, ví dụ cụ thể khác nhau. Ở giai đoạn sau, khi tư duy trừu tượng của HS đã phát triển hơn, HS bước đầu có khả năng khái quát thì các tính chất này mới được giới thiệu một cách chính thức (có bài dạy riêng ở lớp 4). Có thể liệt kê ra tính chất của các phép tính như sau : a. Tính chất của phép cộng - Tính chất giao hoán trong phép cộng: Nội dung : Trong một tổng khi ta thay đổi vị trí các số hạng thì tổng của chúng vẫn giữ nguyên không thay đổi Kí hiệu : a  b = b  a (a, b là các số tự nhiên) Ví dụ : 5  3 = 3  5 = 8 - Tính chất kết hợp: Nội dung : Khi cộng một tổng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba Kí hiệu: a  (b  c) = (a  b)  c Ví dụ : 18  (5  12) = (18  12)  5 =35 - Số 0 trong phép cộng: Nội dung: Trong phép cộng thì số nào cộng với 0 cũng bằng chính số đó; Số 0 cộng với số nào cũng bằng chính số đó 16