Tìm hiểu về vũ trụ học

⇒ B µ δAµ + Aµ δB µ = 0 ⇔ B µ δAµ = −Aµ δB µ ⇔ B δAµ = µ −Aµ (−Γµσν B σ dxν ) (1.16) ⇔ B µ δAµ = Γµσν Aµ B σ dxν Về mặt cấu trúc thì: Γµσν Aµ B σ dxν = Γσµν Aσ B µ dxν Nên (1.16) có thể được viết lại như sau: B µ δAµ = Γσµν Aσ B µ dxν Sau khi giản ước B µ ở cả hai vế ta được δAµ = Γσµν Aσ dxν Tương tự như ở (1.3.2), ta xác định được đạo hàm hiệp biến của vectơ hiệp biến ∇ν Aµ = ∂Aµ − Γσµν Aσ ≡ Aµ;ν ν ∂x (1.17) Đạo hàm hiệp biến của các tenxơ hạng cao hơn: ∂Aµν + Γµσρ Aρν + Γνσρ Aµρ σ ∂x ∂Aµν Aµν;σ = − Γρµσ Aρν − Γρνσ Aµρ ∂xσ ∂Aµν µ − Γρνσ Aµρ + Γµρσ Aρν Aν;σ = σ ∂x Aµν σ = 1.4 Đạo hàm tuyệt đối Ta đã có ( DA = dA − δA = µ µ µ 11 ) ∂Aµ µ σ + Γσν A dxν ν ∂x (1.18) (1.19) (1.20) Chia hai vế cho du với u là thông số của họ đường cong C ( µ ) ν DAµ ∂A µ σ dx = + Γσν A du ∂xν du Biểu thức này được gọi là đạo hàm tuyệt đối của Aµ và kí hiệu ( µ ) ν ∂A DAµ dxν µ σ dx = = · ∇ν Aµ = X ν ∇ν Aµ + Γσν A ν Du ∂x du du DAµ dxν ν µ µ ν = X ∇ν A ≡ ∇ X A ; X = Du du dAµ ∂Aµ dxν Do = nên ta có cách viết thứ hai: du ∂xν du ν DAµ dAµ µ σ dx = + Γσν A Du du du (1.21) (1.22) Tương tự, ta cũng tìm được đạo hàm tuyệt đối của tenxơ hiệp biến hạng một và các tenxơ hạng cao hơn: DAµ dxν dxν dAµ µ = ∇ν Aµ = ∇X Aµ = − Γνσ Aσ Du du du du DAµν dxσ = ∇σ Aµν = X σ ∇σ Aµν = ∇X Aµν Du du DAµ Ý nghĩa hình học: Trong trường hợp đặc biệt khi = 0 , ta nói vectơ Du Aµ được dịch chuyển song song sao cho nó trùng với vectơ Aµ tại điểm mới. Trường hợp đặc biệt này chỉ xảy ra đường cong C là đường rất đặc biệt gọi là đường trắc địa còn vectơ Aµ sẽ là vectơ tiếp tuyến với đường trắc địa. ν dAµ DAµ µ µ σ dx = ∇X A = + Γσν A =0 Du du du Do lúc này Aµ = dxµ (Aµ là vectơ tiếp tuyến của đường trắc địa) du 12 nên ta có: σ ν d dxµ µ dx dx + Γσν =0 du du du du (1.23) σ ν d2 µ dx dx ⇔ 2 + Γσν =0 du du du Phương trình (1.23) là phương trình cho đường trắc địa C. Thông số u gọi là thông số Affine, kí hiệu bằng chữ s hoặc u ν σ d2 xµ µ dx dx ⇔ + Γσν =0 ds2 ds ds (1.24) Ở phần sau bằng nguyên lí tác dụng tối thiểu, ta chứng minh được rằng đường ngắn nhất giữa hai điểm trong không gian Riemann là đường trắc địa và phương trình của nó trùng với (1.23). 1.5 Kí hiệu Christoffel và tenxơ Metric Xét trường vô hướng Φ Khi đó ∇α Φ = ∂α Φ. Nếu đặt Vα = ∇α Φ, ta có: ∇β Vα = ∂β Vα − Γµαβ Vµ = ∂β ∂α Φ − Γµαβ ∂µ Φ (1.25) ∇α ∇β = ∂α Vβ − Γµβα Vµ = ∂α ∂β Φ − Γµβα ∂µ Φ (1.26) Lấy (1.26) trừ (1.25) được: ( Γµαβ (∇α ∇β − ∇β ∇α ) Φ = (∂α ∂β − ∂β ∂α ) Φ + ( ) µ µ ⇔ (∇α ∇β − ∇β ∇α ) Φ = Γαβ − Γβα ∇µ Φ − Γµβα Nếu không gian của ta không xoắn thì (∇α ∇β − ∇β ∇α ) Φ = 0 ⇒ Γµαβ = Γµβα 13 ) ∇µ Φ (1.27) tức là kí hiệu Christoffel đối xứng với hai chỉ số dưới. Ta có định lý sau: gαβ là tenxơ đối xứng. Nếu không gian của ta là không xoắn thì ∇µ gαβ = 0. Có: ∇µ gαβ = gαβ;µ = ∂µ gαβ − Γνµα − Γνµβ gνα Khi ∇µ gαβ = 0 thì: ∂µ gαβ − Γνµα gνβ − Γνµβ gνα = 0 (1.28) Tương tự ta cũng chỉ ra được: ∂α gβµ − Γναβ gνµ − Γναµ gνβ = 0 (1.29) ∂β gµα − Γνβµ gνα − Γνβα gνµ = 0 (1.30) Lấy (1.28) trừ đi (1.29) và (1.30), chú ý tới tính đối xứng của Γναβ ta được: 2Γναβ gνµ + ∂µ gαβ − ∂α gβµ − ∂β gµα = 0 1 ⇔ Γναβ gνµ = (∂α gβµ + ∂β gµα − ∂µ gαβ ) 2 (1.31) Nhân cả hai vế của (1.31) với g νµ 1 Γναβ = g νµ (∂α gβµ + ∂β gµα − ∂µ gαβ ) 2 (1.32) 1 Γµαβ = g µν (∂α gβν + ∂β gνα − ∂ν gαβ ) 2 (1.33) Hay Như vậy, nếu ∇µ gαβ = 0 thì Γµαβ có dạng như (1.33). Ta có thể nói ngược lại: nếu dạng Γµαβ như (1.33) thì sau đó tính toán trực tiếp ta thấy ∇µ gαβ = 0. 14 1.6 1.6.1 Đường trắc địa. Hệ tọa độ trắc địa. Phương trình cho đường trắc địa Ta sẽ tìm phương trình đường trắc địa xuất phát từ nguyên lý tác dụng tối thiểu. Trước hết ta tìm hiểu về đường trắc địa.Trong cơ học, cơ hệ chuyển động từ điểm P đến điểm Q của đường trắc địa thì biến phân của hàm tác dụng bằng 0. Còn trong hình học, nó là đường cong ngắn nhất nối hai điểm P và Q (biến phân của hàm tác dụng bằng 0) Ta chọn hàm L có đặc trưng độ dài. Ta có: ds2 = gαβ dxα dxβ ( )2 ds dxα dxβ L= = gαβ du du du ∫ Hàm tác dụng I = LdΩ Ω Bằng phương pháp biến phân ta nhận được phương trình LagrangeEuler: ∂L d − ∂xµ du ⇒ Có: d du ( ( ∂L ∂ x˙ µ ∂L ∂ x˙ µ ) =0 (1.34) ) − ∂L =0 ∂xµ ∂L ∂gαβ α β = x˙ x˙ ∂xµ ∂xµ ) ∂ ( ∂L α β = g x ˙ x ˙ = 2gαµ x˙ α ab ∂ x˙ µ( ∂ x) ˙µ d ∂L dx˙ α dgαµ dxα dxβ = 2gαµ +2 β du ∂ x˙ µ du dx du du 15 Thay vào (1.34) ta được: dx˙ α dgαµ ∂gαβ α β 2gαµ + 2 β x˙ α x˙ β − x˙ x˙ = 0 du dx ∂xµ Ta có thể thay thế: gαµ 2 dx˙ α dx˙ ν d2 xν = gνµ = gνµ 2 du du du dgαµ α β dgαµ α β dgβµ α β x˙ x˙ = x˙ x˙ + x˙ x˙ dxβ dxβ dxα = (∂β gαµ + ∂α gβµ ) x˙ α x˙ β Khi đó ta có: dx˙ ν 2gνµ + (∂β gαµ + ∂α gβµ − ∂µ gαβ ) x˙ α x˙ β = 0 du ⇔ dx˙ ν 1 νµ + g (∂β gαµ + ∂α gβµ − ∂µ gαβ ) x˙ α x˙ β = 0 du 2 ⇔ d2 xν + Γναβ x˙ α x˙ β = 0 2 du hay d2 xµ + Γµαβ x˙ α x˙ β = 0 2 du (1.35) Phương trình (1.35) trùng với phương trình (1.23) Nếu ta đặt L = 2I với I gọi là hàm Lagrange thì phương trình Lagrange-Euler vẫn có dạng: d du ( ∂I ∂ x˙ µ ) − 16 ∂I =0 ∂xµ (1.36)