Tìm hiểu lý thuyết lượng tử về dao động mạng

gian và các điểm đó gọi là các nút của mạng không gian hay được gọi là nút mạng. Hình hộp được xây dựng từ ba véctơ cơ sở được gọi là ô sơ cấp hay ô cơ sở và tất cả các ô cơ sở tạo thành mạng có cùng một hình dạng, kích thước như hình H2.2:  a1  a3  a2 H2.2 Về nguyên tắc để mô tả một ô cơ sở cần phải biết sáu đại lượng là ba    cạnh a1 , a2 , a3 và các góc  ,  ,  giữa chúng như trên hình H2.3.  a3  a2     a1 H2.3 Ô cơ sở chỉ chữa các hạt ở đỉnh gọi là ô đơn giản hay ô nguyên thủy và nó chỉ chứa một hạt trên một ô cơ sở. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp để mô tả một cách đầy đủ hơn sự đối xứng của mạng tinh thể, ô cơ sở được xây dựng bằng cách chứa các hạt không chỉ ở đỉnh mà còn có ở các điểm khác, ô cơ sở như vậy gọi là ô phức tạp. Căn cứ vào tính chất đối xứng của các loại mạng không gian người ta chia thành bảy hệ ứng với bảy loại ô sơ cấp khác nhau, mỗi hệ được đặc trưng    bởi quan hệ giữa các véctơ cơ sở a1 , a2 , a3 và các góc  ,  ,  giữa các véctơ đó được trình bày trong bảng 2.1. 11 Bảng 2.1 Hệ Số mạng tinh thể Tính chất    a1  a2  a3 Tam tà (Triclinic) + Tam tà       900    a1  a2  a3 Đơn tà (Monoclicnic) + Đơn tà + Đơn tà tâm đáy + Hệ thoi + Hệ thoi tâm đáy Thoi (Arthorhomlic) + Hệ thoi tâm khối   900 ,     900    a1  a2  a3       900 + Hệ thoi tâm mặt    a1  a2  a3 + Hệ tứ giác Tứ giác (Tetragonal) + Hệ tứ giác tâm       900 khối + Hệ lập phương + Hệ lập phương Lập phương (Cubic) tâm mặt + Hệ lập phương    a1  a2  a3       900 tâm khối    a1  a2  a3 Tam giác (Trigonal) + Hệ tam giác       900 ,  1200    a1  a2  a3 Lục giác (Hexagonal) + Hệ lục giác     900   1200 12 Tiếp theo ta nghiên cứu các mặt và các hướng của tinh thể. Trong một mạng tinh thể ta luôn có thể xác định tập hợp các mặt song song mà chúng chứa các điểm mạng. Các mặt này là các mặt tinh thể. Mặt phẳng mạng là mặt phẳng chứa ba nút mạng. Để ghi tên các mặt tinh thể người ta sử dụng các chỉ số Miller. Ta có    ba véctơ cơ sở a1 , a2 , a3 và hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của một nút mạng nào đó. Giả sử có một mặt phẳng mạng cắt ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C có các tọa độ lần lượt là n1 , n2 , n3 như hình H2.4. H2.4 Lấy nghịch đảo ba số n1 , n2 , n3 ta được: 1 1 1 , , . n1 n2 n3 Quy đồng mẫu số, gọi D là mẫu số chung nhỏ nhất, khi đó: h D D D ; k  ;l  n1 n2 n3 Là chỉ số mạng của mặt phẳng này. Kí hiệu là (hkl) và bộ ba số được đặt trong dấu ngoặc được gọi là chỉ số Miller của mặt phẳng mạng: h: k :l  1 1 1 : : n1 n2 n3 13 Chú ý: Các mặt phẳng mạng song song thì có cùng chỉ số Miller vì vậy chỉ số Miller (hkl) có thể kí hiệu cho một mặt phẳng mạng hay cho một họ mặt phẳng mạng song song với nhau. Nếu mặt phẳng mạng song song với một trục tọa độ thì coi như mặt phẳng đó cắt trục tọa độ ở vô cực và chỉ số Miller coi như bằng 0. Nếu mặt phẳng mạng cắt trục tọa độ ở điểm có tọa độ âm thì chỉ số Miller tương ứng có giá trị âm và kí hiệu dấu “ ˉ ”. 1.3. Véctơ mạng đảo Mạng thuận là mạng không gian được xác định từ ba véctơ cơ sở    a1 , a2 , a3 vị trí của mỗi nút mạng được xác định nhờ véctơ:     r  n1 a1  n2 a2  n3 a3 (3.1)    trong đó: n1 , n2 , n3 là các số nguyên, a1 , a2 , a3 là các véctơ cơ sở.    Mạng đảo là mạng không gian được xác định từ ba véctơ b1 , b2 , b3 được xác định như sau:    a2  a3    b1  2    ; b 2  2 a1.  a2  a3     a1  a2   b3  2    a1.  a2  a3     a3  a1     ; a1.  a2  a3  (3.2)    với b1 , b2 , b3 là các véctơ cơ sở của mạng đảo. Vị trí của mỗi nút mạng được xác định nhờ véctơ:     G  m1 b1  m2 b2  m3 b3 trong đó: m1 , m2 , m3 là các số nguyên. Tính chất của véctơ mạng đảo: Tính chất 1: 14 (3.3)    b1  a2 , a3    b2  a3 , a1    b3  a1 , a2   Tức là: ai .b j  2 . ij (3.4) (3.5) Tính chất 2: Độ lớn của véctơ mạng đảo có thứ nguyên nghịch đảo của chiều dài.  1 [b j ]   [ai ] (3.6) Tính chất 3: Hình hộp chữ nhật dựng nên từ ba véctơ cơ sở của mạng    đảo b1 , b2 , b3 được gọi là ô sơ cấp của mạng đảo và có thể tích:    (2 )3   V  b1. b2  b3   VC g C (3.7) trong đó VC là thể tích ô sơ cấp của mạng thuận.    VC  a1.  a2  a3  Định lý 1: Véctơ mạng đảo     G  hb1  kb2  lb3 (3.8) vuông góc với mặt phẳng (hkl) của mạng thuận. Định lý 2: Khoảng cách d( hkl ) giữa hai mặt phẳng liên tiếp nhau thuộc  họ mặt phẳng (hkl) bằng nghịch đảo của độ dài véctơ mạng đảo G ( hkl ) nhân với 2 . 2 d( hkl )   G ( hkl ) 15 (3.9) 1.4. Vùng Brillouin Vùng Brillouin được định nghĩa là ô mạng cơ sở của ô mạng đảo. Nhận xét: Tất cả các đại lượng vật lý đặc trưng cho tinh thể một chiều  phụ thuộc vào véctơ sóng hiệu dụng k (độ lớn của véctơ sóng k ) sẽ được lặp lại một cách tuần hoàn với chu kỳ 2 . Và do tính chất tuần hoàn này nên ta a chỉ cần xét tần số góc  của electron trong mạng một chiều đơn giản trong khoảng 2 trên trục k , do tính đối xứng ta chỉ cần xét k với các giá trị đối a xứng qua gốc tọa độ.      k   a  a (4.1) Hình biểu diễn sự phụ thuộc của  và k trong khoảng      k  . a  a Do k  2  nên k có thứ nguyên của nghịch đảo chiều dài, vậy k là đại lượng được xét trong không gian mạng đảo. Trong trường hợp đang xét, với mạng thuận có chu kỳ là a thì mạng đảo có chu kỳ là 16 2 . a