Phân loại và phương pháp giải một số bài toán dao động của sợi dây

dây kí hiệu là  g ( x, t ) . Thành thử hợp lực tác dụng lên phần sợi dây đang x2 xét là:    g ( x, t )dx x1 Trong đó    (x) là mật độ khối lượng chiều dài của sợi dây. Ta coi dây là đồng chất nên  là hằng số. 2 Mặt khác, gia tốc của các điểm của sợi dây là u '' ''tt   u2 nên hợp lực t x2 quán tính trên phần đang xét của sợi dây là    u '' ''tt ( x, t )dx x1 Do đó ở điểm t ta có đẳng thức: x2 x2    u '' ''tt ( x, t )dx  T (sin  2  sin 1 )    g ( x, t )dx x1 (1-11) x1 Ta đã biết: u u x sin  ( x )    2 x 1  tan 2  ( x )  u  1    x  tan  ( x ) Do đó: x2 2  u  u u T (sin  2  sin 1 )  T     T  2 dx x x1  x x  x2 x x  x1  ở đây ta giả thiết là chiều dài của sợi dây không thay đổi trong suốt thời gian dao động nên vi phân cung: ds  1  u''2x (x, t )dx  dx Nghĩa là đại lượng u ''2x ( x, t ) là đủ nhỏ để có thể thay 1  u''2x bằng 1 ta coi u''2x có thể bỏ qua so với 1. Ở đây trong quá trình dao động, độ lệch pha của sợi dây so với trục x luôn rất nhỏ. Vậy đẳng thức (1-11) có dạng: x2 u'''' tt (x,t)  Tu'' ''xx (x,t)  g(x,t)dx  0 x1 8 Bởi vì đẳng thức này có thể xảy ra đối với bất kì ( x1 , x2 ) của dây, cho nên biểu thức dưới dấu tích phân phải bằng không ở một điểm bất kì của dây tại một thời điểm bất kì, nghĩa là có thể xảy ra đẳng thức: u''''tt (x, t)  Tu'' ''xx (x, t)  g(x, t)  0 u'' ''tt ( x, t )  a 2u'' ''xx ( x, t )   g ( x, t ) Hay: Trong đó a2  T  (1-12) là một hằng số dương Phương trình dao động của sợi dây (1-12) là một phương trình vi phân đạo hàm riêng hạng hai có hệ số là hằng số. Nó là một trong các phương trình vật lý - toán đơn giản nhất. Nếu không có ngoại lực tác dụng vào sợi dây thì g(x,t)  0 thì phương trình là thuần nhất, nó mô tả dao động tự do của dây. Còn phương trình (1-12) với g(x,t)  0 là không thuần nhất là mô tả dao động cưỡng bức của sợi dây. Kết luận chương 1 Chương 1 đã tìm hiểu một cách khái quát lý thuyết cơ bản về dao động sợi dây như việc xây dựng phương trình, xét các điều kiện dao động. 9 Chương 2 PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DAO ĐỘNG CỦA SỢI DÂY Cơ sở để phân loại bài toán dao động của sợi dây của đề tài là dựa vào vào kích thước sợi dây, trạng thái kích thích dao động và các điều kiện ban đầu dao động của sợi dây. Trong khuân khổ của đề tài khóa luận tốt nghiệp dựa trên các bài tập hay gặp trong quá trình nghiên cứu các dạng bài tập ôn luyện thi đầu vào cao học, em chia làm bốn dạng lớn bài tập về dao động của sợi dây: 1. Dao động của sợi dây vô hạn. Bài toán Cô-si 2. Dao động tự do của sợi dây hữu hạn với các điều kiện đặc biệt 3. Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn với các điều kiện đặc biệt 4. Dao động tự do của sợi dây hữu hạn với các điều kiện tổng quát 2.1. Dạng 1: Dao động của sợi dây vô hạn. Bài toán Côsi. Định nghĩa sợi dây vô hạn: Sợi dây vô hạn là sự trừu tượng hóa sợi dây có chiều dài rất lớn,đến mức các nút không ảnh hưởng gì đến dao động của sợi dây đang xét. Tính chất: Dao động của sợi dây vô hạn không chịu ảnh hưởng của điều kiện biên mà chỉ chịu ảnh hưởng của điều kiện ban đầu. Sự xuất hiện dao động của sợi dây vô hạn có thể hình dung như sau: ở thời điểm ban đầu nào đó t  0 sợi dây có một hình dạng nào đó u( x, t ) t 0  u( x,0)  f ( x) và mỗi điểm của sợi dây nhận một vận tốc ban đầu u''t x, t  t0  u''t  x,0  F( x) sau đó sợi dây tự nó chuyển động. Hàm f (x) và F (x) phải xác định trên toàn bộ trục x 10 Thành thử ta có bài toán vật lí - toán sau đây: 2 2 Tìm nghiệm u( x, t ) của phương trình  u2  a 2  u2  0 t x (2-1) với    x  , t  0 u t  0  f ( x )   u  F ( x)  t  t 0 Thỏa mãn các điều kiện ban đầu (2-2) Đây là bài toán Côsi đối với phương trình (2-1). Điều kiện (2-2) gọi là điều kiện ban đầu. Muốn tìm nghiệm của phương trình (2-1) ta hãy đưa nó về dạng dễ dàng hơn bằng cách đổi biến số. Đặt   x  at ;   x  at ta có: u u u   ; x    u u  u  a   t      2u  2u  2u  2u   2  x 2  2   2 2  2u  2u  2u 2  u   a  2    2 y 2   2     2 2  2u 2  u 2  u  a   4 a t 2 x2  Vậy phương trình (2-1) có dạng  2u   u  u  0 vì    0 nên  1 ( )       trong đó 1 là hàm tùy ý. Từ đó: u( , )   1 ( )d   ( ) trong đó  là hàm tùy ý. Vì 1 là một hàm tùy ý nên tích phân của nó  cũng là một hàm tùy ý. Vậy: u ( x, t )   ( )   ( ) Trở về các biến số cũ x, t ta được: u(x, t)  (x  at)  ( x  at) (2-3) Trong đó  ,  là các hàm tùy ý, khả vi liên tục hai lần để cho phép biến đổi biến số trên luôn đúng. Nghiệm (2-3) được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (2-1). 11 Ta thấy nghiệm tổng quát u( x, t ) tổng của hai hàm. Nếu coi hai hàm này là chồng chập hai sóng, một sóng truyền sang trái, một sóng truyền sang phải với vận tốc là a. Thật vậy, hàm  ( x  at) lấy tại điểm x tại thời điểm t có giá trị bằng giá trị mà nó lấy tại điểm x  at ở thời điểm 0. Vậy đồ thị của hàm   x  at  suy ra từ đồ thị của hàm  x  bằng phép tịnh tiến tọa độ một đoạn +at song song với trục hoành. Vậy   x  at  biểu diễn một sóng truyền sang phải với vận tốc a. Tương tự như vậy hàm  x  at  biểu diễn một sóng truyền sang trái với vận tốc a, a gọi là vận tốc truyền sóng. Sóng truyền sang phải là sóng thuận, sóng truyền sang trái là sóng nghịch. Hình 2. Biểu diễn hàm sóng Bây giờ ta dựa vào các điều kiện ban đầu (2-2) để xác định các hàm  ;  . Trong (2-1) ta thay t  0   x    x   f  x  (2-4) u  x    x a a  F x t t 0  x   x  (2-5) Lấy tích phân 2 vế của (2-5) từ 0 đến x ta được: x a   x    0   a   x    0    F  d  0 Hay nếu đặt C   0  0 , ta được: x   x   x   1 F  d  C a 0 12 (2-6) Giải hệ phương trình (2-4) và (2-6) ta được: x  x   1 1 C f x   F  d    2 2a 0 2  x   1 1 C f x   F  d   2 2 a 0 2 a Thay biểu thức vào (2-3) ta được: u x, t   1  f x  at   f x  at   1 2 2a x  at (2-7)  F  d x  at Công thức này gọi là nghiệm Đalambe của bài toán Côsi đối với phương trình dao động của sợi dây. Bây giờ ta sẽ nghiên cứu ý nghĩa vật lí của nghiệm này. Muốn vậy, đầu tiên ta giả sử rằng F  x   0 và f  x  0 trong một quãng hữu hạn  l, l  . Điều đó có nghĩa là dao động xuất hiện chỉ là do độ lệch ban đầu của dây khỏi vị trí cân bằng trong quãng  l, l  . Khi đó phương trình dao động (2-7) có dạng: u 1  f x  at  f x  at 2 (2-8) Để dựng đồ thị ở thời điểm tiếp theo t , ta dịch chuyển đồ thị ban đầu một đoạn at sang phải, và sang trái và cộng tung độ của đồ thị này lại. Các đồ thị (Hình 3.b,c,d) ứng với các thời điểm t  13 l l 3l , , 2a a 2a